Cita

"Those who are willing to pay a penny of security for a penny of usability will eventually have neither"

11 mayo 2015

Bienvenidos al Hotel Hilbert


Hoy vengo a hablaros del infinito. A lo mejor no tiene mucho que ver con la seguridad porque parte de la seguridad criptográfica se basa en la aritmética modular, que recuerda más a la cosmovisión de la antigua Grecia y el mito del eterno retorno (recuperado por los filósofos modernos y por Mátrix). Pero el caso es que me apetecía. Así es que, si me permitís el excurso (u off-topic, como dicen los anglos):

El infinito puede que no aparezca en criptografía, pero se encuentra en otras cosas (incluso en el corazón). A Einstein se le atribuye aquella frase de que "hay dos cosas infinitas: el universo y la estupidez humana; y no estoy seguro de la primera". Pero de lo que sí que estamos seguros es de que no existe un hotel infinito, con infinitas habitaciones. Salvo en la mente de Hilbert...

La circunstancia que me animó a contar esta historia se remonta a una conversación de café en la que (ya no recuerdo cómo ni por qué) dos de los contertulios empezaron a hablar del hotel de Hilbert, como de un hotel donde siempre cabe más gente. Y de pronto me vi con mi babi y mis coletas, frente a un encerado donde alguien, con una tiza en la mano, decía lo mismo. ¡Es que a mí esa historia ya me la había contado antes! Pero mi memoria no es infinita y las cosas del colegio ya se me han olvidado mucho. Así es que me puse a tratar de averiguar por mi cuenta de qué iba aquello. Y ésta es la historia, que aquí resumo. Herr Hilbert os da la bienvenida a su hotel:

El hotel tiene infinitas habitaciones, ocupadas por infinitos huéspedes. Entonces, llega un un turista más, preguntando si hay habitación para él. ¡Pues claro! le responde el recepcionista. Solo tienen cambiarse todos los huéspedes a la habitación siguiente a la que ocupan, dejando así libre la primera. ¿A dónde va el de la última habitación? Es que no hay última habitación. En un hotel infinito siempre habrá una habitación más.

El hotel Hilber se hace tan famoso por sus muchas comodidades (seguro que hasta tiene wifi) que pronto llega un autocar entero lleno de... infinitos turistas. ¿Cómo harán para alojarlos a todos? Muy fácil: todos los huéspedes tienen que cambiarse a una habitación cuyo número sea el doble de la que ocupan. Así solo estarán ocupadas las habitaciones pares y los recién llegados podrán alojarse en las impares.

Pero la fama del hotel sigue creciendo y a la siguiente temporada llega una excursión compuesta por infinitos autocares, llenos a su vez de infinitos turistas. Con el método anterior solo se podrían colocar los huéspedes de un autocar; y, como nunca se terminaría, no podrían empezar con el siguiente. Y si quisieran vaciar todos los autocares a la vez, en cada habitación de las que quedaran libres, tendrían que alojarse infinitos turistas (cosa que no podía ser, porque ninguno quería compartir habitación). La solución pasa por pedir a los huéspedes que ocupaban una habitación cuyo número sea potencia de un primo (esto de los primos ya recuerda algo a la criptografía) que se muden la habitación cuyo número corresponda con 2 elevado a la suya (así dejamos libres las impares otra vez). Luego, para repartir las habitaciones, se procede de la siguiente manera: numeramos los autocares utilizando números primos (que también son infinitos) y a cada turista dentro de ellos les asignamos un número impar. La habitación asignada a cada turista es la que lleva el número del autocar elevado al número del turista en cuestión. Así, por ejemplo, el turista nº 3 del autocar 5 irá a la habitación 125, que ya se habrá quedado previamente vacía por haberse mudado su huésped a la 2^125.

Hay otro método, que me parece más eficiente, explicado en el blog de microsiervos. No salen números tan grandes de habitación. Aunque, es verdad que, en un hotel infinito, ¿a quién pude importarle mucho eso?

Si no os ha quedado del todo claro, podéis ver el siguiente vídeo tan simpático:



Quiero dar también las gracias a FJV por prestarme el libro "Los secretos del infinito. 150 respuestas al enigma" que me ayudó a refrescar la memoria.

Pero no creáis que aquí termina la historia. Podéis pensar que menudo chollazo de hotel, que siempre cabe más gente. Pero la verdad es que, cuando llegó la siguiente excursión, el personal del Hotel Hilbert se vio en un aprieto porque fue incapaz de darles acomodo. Y es que, incluso dentro del infinito, todavía hay clases. Pero eso mejor os lo cuento otro día...